La lógica existencia de Dios

Incluso el impío acepta que algo para lo que nada mayor puede concebirse es un concepto que entra en el entendimiento […]. Por supuesto, aquello para lo que nada mayor puede concebirse no puede existir únicamente en el entendimiento. Porque si así fuera, podríamos concebir la idea de que además existiera en la realidad, lo cual lo haría aún mayor […]. Ergo, sin duda, aquello para lo que nada mayor puede concebirse existe tanto en el entendimiento como en la realidad.” (San Anselmo, Proslogion, 1078).

Para demostrar la existencia de algo es imprescindible tener clara su definición, saber cuál es su principal característica, lo que lo hace único, su esencia. Tomo un ejemplo prestado de Naukas: si definiéramos al Papa como “un hombre que va vestido de blanco”, podríamos decir que todos los hombres vestidos de blanco son el Papa. En una definición necesitamos una propiedad esencial del objeto definido, algo que sea necesario para el objeto. Una esencia del Papa no es ir vestido de blanco, pero sí lo es ser obispo de Roma. De esta forma, podríamos definir al Papa como el obispo de Roma.

Así pues, si queremos demostrar la existencia de Dios, en primer lugar tendremos que responder a qué entendemos por Dios. No es fácil optar por una definición. Una inadecuada puede llevar fácilmente a poner en duda su existencia con argumentos infalibles. Tenemos que tener claro qué lo hace único, cuál es su esencia.

Un primer intento

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San Anselmo, nacido en Aosta, es el padre del argumento ontológico más famoso.

San Anselmo, en su argumento ontológico (1078), asevera que incluso un ateo aceptaría el concepto de la existencia de Dios, en el sentido de que sería capaz de imaginar un mundo creado por él. Así comienza su argumentación en favor de la existencia de Dios, con un axioma que dice:

es posible que Dios exista.

Para san Anselmo de Canterbury, la propiedad esencial de Dios es su grandeza: no se puede concebir nada mayor que él. Esto lleva a que es imposible que Dios no exista, pues podríamos concebir un dios que sí exista, lo que sería algo mayor. Pero por definición no hay nada mayor que él. Por tanto, es inconcebible que Dios no exista, luego existe.

Kant ya criticaba el tratamiento de la existencia de un individuo como una de sus propiedades, del mismo modo que puede serlo el hecho de llevar un traje blanco. Pero además, otro problema del argumento ontológico es la ausencia de distinción entre una propiedad posible y una concebible, a saber, uno puede concebir la existencia de un dragón, pero eso no hace posible su existencia. A san Anselmo no parecía preocuparle ese matiz.

Con todo, el axioma del santo no ha sido muy aceptado entre los intelectuales y los filósofos. Por ello, Gödel trata de afinar más en el argumento y busca convertir ese axioma en un teorema, demostrado a partir de axiomas más básicos.

Una alternativa lógica

Kurt Friedrich Gödel fue un matemático nacido a comienzos del siglo XX en el Imperio Austrohúngaro. Es principalmente famoso por sus teoremas de incompletitud. A grandes rasgos, con ellos prueba que un sistema como la aritmética de los números naturales no puede ser a la vez consistente y completo, o sea, que habrá proposiciones que serán verdaderas pero que no podrán demostrarse. Y además fue uno de los personajes más raros que han poblado este planeta.

Miembro del Círculo de Viena, el grupo de filósofos liderados por pensadores como Wittgenstein o Russel, Gödel partió a los Estados Unidos poco antes de que el círculo se disolviera. Con la ocupación nazi acabó por instalarse allí para trabajar en la universidad de Princeton. Amigo íntimo de Einstein, consiguió la ciudadanía estadounidense gracias a su apoyo en momentos tan críticos como aquel en el que dijo al juez que había demostrado, con razonamientos lógicos, cómo dar un golpe de estado de forma constitucional en los Estados Unidos. Solitario a la vez que extramadamente dependiente de su esposa y de su amigo relativista, Gödel ya septuagenario se obsesionó con que su comida estaba envenenada, lo que lo llevó a dejar de comer y morir desnutrido a finales de los años 70.

Teísta convencido, vio en el argumento ontológico de san Anselmo un sencillo problema de lógica modal al que dotó de argumentos adicionales para apoyar el controvertido axioma de la existencia posible de la deidad.

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Gödel y Einstein compartieron largos paseos en el campus de Princeton durante años.

Como ya hemos dicho, si queremos demostrar la existencia de algo tenemos que tener clara su definición. Para empezar, Gödel nunca demuestra la existencia del dios cristiano, ese ser omnipotente, creador del universo, padre de Jesús, misericordioso, bondadoso y personaje bíblico. En su demostración no da tanto detalle de qué entiende él por dios. Simplemente, muy inspirado por Leibniz, la deidad cuya existencia quiere demostrar se caracteriza por la bondad, por un conjunto de propiedades buenas.

Para formalizar el concepto de propiedad buena, Gödel trabaja con lo que podemos llamar un operador de positivismo. Dada una propiedad F, este operador dice si F es buena o no. Diremos que Pos(F) toma valor verdadero cuando F es una propiedad buena. No obstante, que una propiedad sea buena o no puede ser algo relativo, en función del punto de vista. Pero Gödel deja claro en su demostración que el positivismo, tal y como él lo utiliza en su trabajo, «es independiente de la estructura accidental el mundo». Es decir, no entra en la  moralidad sobre la bondad de las cualidades humanas y opta únicamente por un sentido platónico del concepto.

En resumen, asume que si una propiedad es buena, entonces es buena siempre, bajo cualquier interpretación. En términos de lógica modal diríamos que una propiedad buena es necesariamente buena.

Demos paso al razonamiento de Gödel. Mencionaré los axiomas, definiciones y teoremas que lo constituyen. Los axiomas y las definiciones pueden ser cuestionables; los teoremas, que son proposiciones con una validez demostrada lógica o matemáticamente, no.  Para amenizar esto un poco, no entraré en las demostraciones de los teoremas en estos párrafos, pero se pueden encontrar aquí. Otra observación importante es que seguiré una versión más moderna del argumento que la original de Gödel.

Axioma 1: una propiedad es buena (o positiva) si y solo si su negación es mala (o negativa). Es difícil dar ejemplos puesto que Gödel trabajaba con conceptos abstractos y no propone ninguna propiedad que sea buena. Pero pongamos que ser misericordioso es bueno. Este axioma 1 lleva a que no ser misericordioso no es bueno.

Axioma 2: una propiedad es buena si contiene necesariamente una propiedad buena. En otras palabras, si F es buena e implica siempre otra propiedad H, esta última será buena.

En la lógica que emplea Gödel en el argumento es importante hacer distinción entre lo que es necesario y lo que es contingente. Lo primero hace referencia a aquello que debe ocurrir siempre, en todos los universos posibles y bajo cualquier interpretación. Lo segundo se refiere únicamente a lo que es posible, pero no tiene por qué ocurrir.

Gödel da ahora el primer teorema. Recordemos que a diferencia de los axiomas, los teoremas son proposiciones que requieren ser demostrados para aceptarlos. Junto con los axiomas 1 y 2 y algunos conceptos de la lógica, Gödel demuestra lo siguiente.

Teorema 1: si una propiedad es buena, es consistente. Este es un vocablo que en lógica quiere decir que se puede ejemplificar, o lo que es lo mismo, que si no podemos encontrar objeto alguno con esa propiedad, esta no puede ser buena. Así pues, las cualidades buenas pueden existir.

Para continuar necesitamos unas definiciones. La importancia de estas radica en que, como ya hemos dicho previamente, no podemos demostrar la existencia de una entidad que no sepamos definir. En estas líneas vamos a definir exactamente cómo es aquello cuya existencia estamos tratando de demostrar.

De hecho veremos que, aunque comúnmente se habla del argumento ontológico de Gödel como una prueba de la existencia de Dios (con mayúscula, el cristiano), las definiciones no se asemejan mucho a lo que dice la Biblia. Estas definiciones hablan de un ser mucho más abstracto, por ejemplo, ni mencionan que haya creado el universo ni que sea único.

Empecemos con una formalización del concepto de esencia.

Definición 1: una propiedad F se dice que es una esencia de un individuo x cuando x tiene dicha propiedad y además todas sus propiedades esenciales derivan de F.

godel

Gödel también demostró que en matemáticas no todo se puede demostrar.

Es cierto que Gödel no indica que la esencia de un individuo deba ser única. Sin embargo, desde un punto de vista lógico queda implíticita en la definición la necesidad de que esa esencia sea única. Desafortunadamente, no tengo espacio para entrar en detalles al respecto.

Por fin hablamos de dioses

Definición 2: diremos que un individuo x es una deidad cuando:

  • todas sus propiedades esenciales, es decir, todas aquellas que permitan definirlo, sean buenas
  • y toda propiedad buena que exista sea una propiedad esencial de x, que podríamos reescribir como que su esencia sea poseer todas las propiedades buenas.

Fijémonos en que no se menciona que esta deidad cuya existencia queremos demostrar sea única, ni que no tenga propiedad alguna que sea mala. Claramente, tiene algunas diferencias considerables con el dios cristiano.

En términos matemáticos, de esta definición destaca el uso de “todas sus propiedades”. Se trata de un cuantificador: ⃞, e implica que hay que entender estas propiedades en todos los mundos posibles, igual que el uso de “necesariamente” del que hablamos más arriba.

Ahora, para sanar el inconveniente de que la existencia no puede considerarse una propiedad de un individuo, como criticó Kant, Gödel aporta un nuevo concepto.

Definición 3: que un individuo x exista necesariamente significa que tiene alguna propiedad esencial.

El enunciado original de esta definición es un poco más complejo, pero dado el nivel de rigor de estas líneas, lo podemos dejar así.

El obstáculo que se le viene ahora a Gödel es que no tiene herramientas para demostrar que ser una deidad es algo bueno, algo positivo. Puede parecer obvio, puesto que posee todas las propiedades buenas, pero no tenemos modo de saber si todas ellas en conjunto es algo bueno. La solución que propone Gödel es un nuevo axioma.

Axioma 3: ser una deidad es una propiedad buena.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Leibniz decía que, puesto que Dios ha creado el mundo, vivimos en el mejor de los mundos posibles.

Recordemos que con el teorema 1 Gödel demuestra que si una propiedad es buena, es posible ejemplificarla. Es muy importante que Gödel no menciona la palabra necesidad en el teorema. En lugar del operador ⃞, emplea ⃟, que indica posibilidad. Con todo, junto con el axioma 4 se deduce fácilmente un nuevo resultado.

Teorema 2: ser una deidad es una propiedad consistente, i.e., es posible ejemplificarla.

Acabamos de llegar al axioma del que partía san Anselmo: es posible que Dios exista (guardando las distancias debidas a las definiciones). Gödel ha conseguido demostrar aquello que san Anselmo aceptaba únicamente a partir de su argumento acerca del entendimiento de los ateos. Ahora podemos continuar el razonamiento con las pautas que ya dejó el arzobispo de Canterbury. Decía en su argumento ontológico que la existencia necesaria es más importante que la existencia contingente. Llevemos esto al campo de la lógica en el que trabaja Gödel.

Axioma 4: la existencia necesaria, definida en la definición 3, es una propiedad positiva.

Falta un resultado antes de llegar a nuestro objetivo final. Las demostraciones que quedan no sólo se basan en los resultados citados previamente, sino también en algunos conceptos del campo de la lógica. De todos modos, como ya se ha dicho, evitaremos los detalles más técnicos.

Teorema 3: si un individuo x es una deidad, entonces ser una deidad es su esencia.

Y con todo, incluidos unos cuantos resultados de lógica modal, llegamos a la conclusión esperada.

Teorema 4: es necesario que exista una deidad.

Como queríamos demostrar.

Si alguno de ustedes se siente con ganas, insisto en que pueden seguir las demostraciones aquí. Al fin y al cabo, no hace falta hacer ningún acto de fe.

Pero entonces, si hay pruebas de la existencia de esta deidad, ¿por qué hay ateos? Quizá los ateos solo dicen tonterías. Pero quizá este argumento ontológico no sea del todo aplicable al mundo real. Si bien en términos lógicos es indefectible, las asunciones pueden ser opinables. De hecho, con las alteraciones adecuadas en los axiomas, podríamos demostrar que incluso Pikachu existe.

Al final, Gödel no nos dejó una prueba de algo que es improbable, sino la prueba de que la lógica y las matemáticas están más cercanas al razonamiento humano de lo que algunos imaginan, como muestra el trabajo que un monje benedictino del siglo XI realizaba para ganarse su pan de cada día.

Quod erat demonstrandum.

\begin{array}{rl} \text{Ax. 1.} & \left\{P(\varphi) \wedge \Box \; \forall x[\varphi(x) \to \psi(x)]\right\} \to P(\psi) \\ \text{Ax. 2.} & P(\neg \varphi) \leftrightarrow \neg P(\varphi) \\ \text{Th. 1.} & P(\varphi) \to \Diamond \; \exists x[\varphi(x)] \\    \text{Df. 1.} & \varphi \text{ ess } x \iff \varphi(x) \wedge \forall \psi \left\{\psi(x) \to \Box \; \forall y[\varphi(y) \to \psi(y)]\right\} \\    \text{Df. 2.} & G(x) \iff \forall \varphi [P(\varphi) \to \varphi(x)] \\    \text{Df. 3.} & E(x) \iff \forall \varphi[\varphi \text{ ess } x \to \Box \; \exists y \; \varphi(y)] \\    \text{Ax. 3.} & P(G) \\    \text{Th. 2.} & \Diamond \; \exists x \; G(x) \\    \text{Ax. 4.} & P(E) \\    \text{Th. 3.} & G(x) \to G \text{ ess } x \\    \text{Th. 4.} & \Box \; \exists x \; G(x)    \end{array}

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